sebangun dan kongruen

KESEBANGUNAN A. KOMPETENSI Setelah pelatihan ini peserta diharapkan dapat 1. menjelaskan tentang kesebangunan pada segitiga 2. menjelaskan tentang kesebangunan pada bidang-bidang datar lainnya 3. menjelaskan perbedaan antara sama, sama dan sebangun, dan kongruen pada dua bidang datar B. URAIAN MATERI Pembahasan kesebangunan pada bidang datar dimulai dengan pembahasan kesebangunan pada segitiga yang merupakan bidang datar yang paling sederhana dan selanjutnya dapat dianalogkan untuk bidang-bidang datar lainnya. Dua Bangun Datar yang Sebangun Definisi: Poligon yang sebangun adalah dua poligon yang memiliki perkawanan antara titik-titik sudutnya sehingga: 1. semua sudut yang sekawan kongruen, 2. semua ratio ukuran sisi yang sekawan sama. Segitiga KLM dan segitiga UVW adalah segitiga yang sekawan dengan a. K  U, L  V dan M  W b. maka segitiga KLM dan segitiga UVW adalah dua segitiga sebangun atau ditulis KLM  UVW Bagaimakah kesebangunan untuk bidang-bidang datar lainnya? Amatilah uang logam pecahan Rp50,00 dan Rp100,00 pada gambar di bawah ini, tampak bahwa gambar burung Garuda di dua uang logam itu sama tetapi ukurannya berbeda. Gambar burung Garuda yang ada dalam uang logam ini dikatakan sebangun, karena memiliki gambar yang sama tetapi berbeda ukuran. Amati juga bangun-bangun datar berikut ini: a. b. c. d. Pada gambar bidang-bidang datar yang berpasangan tersebut, terdapat dua bidang yang bentuk dan ukurannya berbeda, tetapi ada pula dua bidang yang bentuknya sama tetapi ukurannya berbeda. Gambar a dan d merupakan gambar dua bidang yang bentuknya sama tetapi ukurannya berbeda, maka dua bidang tersebut (a dan d) disebut sebangun. Perhatikan segiempat ABCD dan segiempat EFGH di bawah ini! Sudut-sudut yang bersesuaian dari bangun ABCD dan bangun EFGH adalah kongruen yaitu: A  E, B  F, C  G, dan D  H. Sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang sama yaitu: atau . Karena sudut-sudut yang bersesuaian kongruen dan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian sama, maka segiempat ABCD sebangun dengan segiempat EFGH. Contoh: Apakah dua persegipanjang dengan ukuran 12 cm x 8 cm dan 6 cm x 4 cm adalah sebangun? Jawab: Semua sudut-sudut persegipanjang adalah siku-siku, dengan demikian keempat sudut berukuran 90o. Perbandingan panjang = . Perbandingan lebar = . Karena sudut yang bersesuaian kongruen dan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai sama maka kedua persegipanjang tersebut sebangun. Bangun Datar yang Kongruen Definisi: Poligon yang kongruen adalah dua poligon yang memiliki perkawanan satu-satu antara titik-titik sudutnya sehingga: 1. semua sisi yang berkawan kongruen, dan 2. semua sudut yang berkawan kongruen Segitiga ABC dan segitiga PQR adalah segitiga yang sekawan dengan 1. A  P, B  Q dan C  R 2. AB  PQ, BC  QR dan CA  RP maka segitiga ABC dan segitiga PQR adalah dua segitiga kongruen atau ditulis ABC  PQR Untuk peserta sebagai guru, maka cara di atas adalah pembuktian secara analisis untuk dua bidang datar dapat dikatakan kongruen berdasarkan definisi. Akan tetapi untuk siswa SMP ada cara lain bagaimana memperlihatkan bahwa dua bidang datar dapat dikatakan kongruen, antara lain dengan cara: Jiplaklah bidang PQRS pada kertas dan gunting. Kemudian, jika model trapesium tersebut dibalik atau digeser dan kemudian dapat menempati daerah bidang EFGH, maka dapat dikatakan trapesium PQRS kongruen dengan trapesium EFGH atau ditulis PQRS  EFGH. Jiplaklah ABC pada kertasmu dan gunting. Kemudian, jika model segitiga tersebut dibalik atau digeser dan kemudian dapat menempati daerah bidang PQR, maka dapat dikatakan segitiga ABC kongruen dengan segitiga PQR atau ditulis ABC  PQR. Contoh: Pada gambar berikut ini, segitiga manakah yang kongruen dengan segitiga ABC? Kemudian sebutkan perlakuan yang dikenakan pada ABC agar tepat menempati segitiga yang kongruen dengannya. Penyelesaian: Segitiga yang kongruen dengan ABC adalah JIH dan MKL, sedangkan DEF bentuk dan ukurannya berbeda dengan ABC. ABC tepat menempati JIH jika ABC digeser 1 ke kanan dan 6 ke bawah ABC tepat menempati MKL jika ABC dibalik (dicerminkan dengan sumbu sisi AC) dan digeser 2 ke kiri. Segitiga-segitiga yang Kongruen Pada segitiga, untuk menyatakan dua buah segitiga adalah kongruen tidaklah harus selalu memenuhi semua aksioma yang ada di dalam definisi poligon yang kongruen. Ada postulat dan dalil yang menyatakan bahwa dengan hanya memperhatikan beberapa sisi dan sudut tertentu pada segitiga, maka dua buah segitiga sudah dapat dikatakan saling kongruen. Adapun postulat dan dalil yang dimaksud adalah sebagai berikut: Postulat SDS (Sisi suDut Sisi): Jika pada dua segitiga terdapat perkawanan antara titik sudutnya, dua sisi dan sudut apit pada segitiga pertama kongruen dengan dua sisi dan sudut apit yang berkawan pada segitiga kedua, maka dua segitiga tersebut kongruen. Jika , A  P dan , maka  ABC   PTS Postulat DSD (suDut Sisi suDut): Jika pada dua segitiga terdapat perkawanan antara titik sudutnya, sebuah sisi dan dua sudut pada sisi tersebut pada segitiga pertama kongruen dengan sebuah sisi dan dua sudut yang berkawan pada segitiga kedua, maka dua segitiga tersebut kongruen. Jika A  P, dan C  S, maka  ABC   PTS Dalil SSS (Sisi Sisi Sisi): Jika pada dua segitiga terdapat perkawanan antara titik-titik sudutnya dan tiga sisi segitiga pertama kongruen dengan tiga sisi yang sekawan dari segitiga yang kedua, maka dua segitiga tersebut kongruen. Jika , dan , maka  ABC   PTS Dalil Segitiga Siku-siku yang Kongruen: Jika pada dua segitiga siku-siku terdapat perkawanan antara titik-titik sudutnya, hipotenusa dan sebuah sisi segitiga pertama kongruen dengan hipotenusa dan sebuah sisi yang sekawan pada segitiga kedua, maka dua segitiga siku-siku tersebut kongruen. Dalil DDS (suDut suDut Sisi): Dua segitiga kongruen jika terdapat perkawanan antara titik sudutnya, dua sudut dan sebuah sisi di depan salah satu sudut segitiga pertama kongruen dengan dua sudut dan sebuah sisi di depan salah satu sudut yang berkawan dari segitiga kedua. Contoh: 1. Diketahui: Buktikan: A  C Jawab: Diketahui dan serta sisi yang ketiga berhimpit mengakibatkan , sehingga berdasarkan Dalil SSS, ABD  CDB. Jika ABD  CDB, maka berdasarkan definisi polygon yang kongruen, semua sudut yang berkawan juga kongruen, sehingga A  C. 2. Diketahui: 1  2 E titik tengah Buktikan : A  D Jawab: a. Diketahui dan , maka ABE dan DCE adalah sudut siku-siku atau 900, sehingga ABE  DCE. b. Karena 1  2, maka selisihnya juga kongruen atau FBE  GCE, c. Diketahui E titik tengah , maka dan diketahui , sehingga dengan FBE  GCE memenuhi Postulat SDS, jadi, FBE  GCE d. Menurut Definisi Poligon yang Kongruen, jika dua segitiga sudah dinyatakan kongruen maka sudut-sudut segitiga yang berkawan juga kongruen, yaitu AEB  DEC e. Dengan AEB  DEC, dan ABE  DCE, maka memenuhi Postulat DSD, sehingga ABE  DCE. f. Menurut Definisi Poligon yang Kongruen, jika dua segitiga sudah dinyatakan kongruen maka sudut-sudut yang berkawan juga kongruen, yaitu A  C Sama, Kongruen dan Sebangun Bagian ini perlu untuk ditampilkan karena masih ada pemahaman yang belum tepat tentang sama, kongruen dan sebangun. Pernyataan ”kongruen” sering juga disebut dengan ”sama dan sebangun” sehingga dianggap yang paling tinggi posisinya dibanding dengan pernyataan ”sama”. Berikut ini diberikan contoh langsung sehingga diharapkan kekeliruan yang ada dapat diperbaiki. Perhatikan bangun persegi di bawah ini dengan ukuran yang berbeda, maka hubungan yang dapat terjadi adalah ”sama”, ”kongruen” dan ”sebangun”. Ukuran persegi A sama dengan E, ukuran persegi C sama dengan F dan ukuran persegi D sama dengan G. Pernyataan-pernyataan di bawah ini adalah benar: 1. A  B, A  C, A  D dan yang lainnya E  F, E  G, B  F, dst. 2. A  E, C  F dan D  G 3. A = A, B = B, C = C, D = D, E = E, F = F dan G = G Jadi, sebuah bangun hanya dapat sama dengan dirinya sendiri. C. RANGKUMAN a. Dua bidang datar dikatakan kongruen, jika bentuk dan ukurannya sama. b. Dua bidang datar dikatakan sebangun, jika bentuk sama tetapi ukurannya berbeda. c. Sebuah bidang datar dikatakan sama hanya dapat dengan dirinya sendiri. D. LATIHAN SOAL 1. Dalam ABC dan PQR diketahui A  P, B  Q dan C  R. Garis AE dan PS masing-masing membagi A dan P sama besar, sehingga memotong BC di E dan memotong QR di S. Buktikan bahwa: a. ABC dan PQR sebangun b. 2. a. Buktikan bahwa ABE dan DCE sebangun. b. Sebutkan pasangan sisi bersesuaian yang sebanding! c. Tentukan panjang CD. 3. Diketahui: 1  2 Buktikan: Δ ABC  Δ DBE E. KUNCI JAWABAN 1. a. Diketahui DABC dan DPQR dengan ÐA @ ÐP, ÐB @ ÐQ dan ÐC @ ÐR. Karena ukuran sudut-sudutnya sama, maka perbandingan sisi-sisi dihadapan sudut-sudut tersebut juga sama yaitu: sehingga memenuhi definisi poligon yang sebangun. Jadi, DABC dan DPQR sebangun. b. Garis AE dan garis PS adalah garis berat masing-masing segitiga, sehingga ÐBAE @ ÐCAE dan ÐQPS @ ÐRPS, karena pada mulanya ÐA @ ÐP, maka setengah dari yang sama adalah sama, jadi ÐCAE @ ÐRPS. Dengan melihat DACE dan DPRS, maka ÐAEC @ ÐPSR, karena dua sudut lainnya yang sekawan sudah kongruen. Sama dengan jawaban bagian a, maka DACE dan DPRS adalah sebangun, sehingga perbandingan sisi-sisinya atau dan dari bagian a juga didapat , jadi . Terbukti! 2. a. ÐEAB dan ÐEDC adalah sudut dalam berseberangan, maka ÐEAB @ ÐEDC ÐEBA dan ÐECD adalah sudut dalam berseberangan, maka ÐEBA @ ÐECD ÐAEB dan ÐDEC adalah sudut bertolak belakang, maka ÐAEB @ ÐDEC. Karena ukuran sudut-sudutnya sama, maka perbandingan sisi-sisi dihadapan sudut-sudut tersebut juga sama yaitu: sehingga memenuhi definisi poligon yang sebangun. Jadi, DABE dan DDCE sebangun. b. c. Jadi, sehingga jika AB = 12, maka CD = 18 3. maka ÐDBE dan ÐABC siku-siku atau 900 shg ÐDBE @ ÐABC (suDut) ÐDBC dan ÐAEB adalah sudut lurus atau 1800 sehingga ÐDBC @ ÐAEB dengan Ð1 @ Ð2 maka selisihnya ÐDEB @ ÐACB (suDut) Sisi yang diapit oleh dua sudut yang kongruen adalah (Sisi), sehingga memenuhi Postulat DDS (suDut Sisi suDut), jadi Δ ABC @ Δ DBE. Terbukti.

numerik

METODE NUMERIK: Pengertian dan Kegunaan Metode Numerik Beberapa definisi metode numerik dikemukakan ahli matematika, misalnya metode numerik adalah teknik di mana metode numerik METODE NUMERIK: Pengertian dan Kegunaan Metode Numerikmasalah matematika diformulasikan sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian aritmetika (Chapra dan Chanale, 1991); metode numerik adalah teknik -teknik yang digunakan untuk merumuskan masalah matematika agar dapat diselesaikan han ya dengan operasi hitungan, yang terdiri dari operasi tambah, kurang, kali dan bagi (Susila, 1994 ; Ibraheem dan Hisyam, 2003). Terdapat banyak jenis metode numerik, namun pada dasarnya, masing -masing metode tersebut memiliki karakteristik umum, yaitu selalu mencakup sejumlah kalkulasi aritmetika. Jadi metode numerik adalah suatu teknik untuk memformulasikan masalah matematika sehingga dapat diselesaikan dengan operasi aritmetika yang terdiri dari operasi tambah, kurang, kali dan bagi (Rochmad, 2011). Di samping itu menurut Rochmad (2011) ada sejumlah alasan mengapa orang menggunakan metode numerik untuk memecahkan masalah yang dihadapinya. Beberapa alasan tersebut sebagai berikut. Metode numerik merupakan suatu teknik untuk menyelesaikan masalah matematika yang efektif dan efisien. Dengan bantuan komputer ia sanggup menangani masalah yang rumit dan melibatkan perhitungan y ang luas, misalnya untuk memecahkan masalah solusi suatu persamaan tak linear, sistem persamaan yang besar, dan permasalahan lainnya termasuk dalam teknik dan sosial. Masalah yang sering sulit atau bahkan tidak mungkin dapat diselesaikan secara analitis dapat diselesaikan dengan metode numerik. Saat ini terdapat berbagai paket program komputer (misalnya exel, maple, matlab, atau program paket lainnya) yang tersedia dan diperdagangkan sehingga mudah didapat yang dalam pengoperasiannya mencakup metode numerik. Dengan demikian, pemecah masalah tinggal menyesuaikan dengan karakteristik program paket tersebut dengan algortima yang digunakan dalam pemecahan masalah. Apabila masalah yang dihadapi sulit diselesaikan dengan bantuan program paket komputer, maka pemecah masalah dapat menggunakan program komputer (misalnya basic, pascal, fortran, atau program komputer lainnya). Jika pemecah masalah mahir mendesain program sendiri, maka pemecah masalah dapat lebih leluasa dalam menggunakan metode numerik untuk memecahka n masalah yang dihadapinya. Di sisi lain, metode numerik merupakan semacam sarana yang efisien untuk mengenal karakteristik komputer dan mendesain algoritma, diagram alur dan menulis program komputer sendiri. Kata kunci artikel ini: pengertian metode numerik, pengertian numerik, metode numerik, air stripping adalah, metode numerik adalah, kegunaan metode numerik, metode numeric Leave a Reply